Puasonov integral 
Vrsta: Seminarski | Broj strana: 6 | Nivo: Matematički fakultet

Literatura:
http://en.wikipedia.org/wiki/Simeon_Poisson
Fihtengoic: Diferencijalne jednacine, tom 2
Puasonov integral (Poisson)
Integral , je obično poznat pod imenom Puasonov integral.
Kako je
(1 - ) ,
Uz pretpostavku 1, vidimo da je podintegralna funkcija neprekidna i integral postoji.
Podeliviši interval [0, na n podjednakih delova, imamo
,
Sa druge strane, iz algebre je poznato razlaganje
(pojašnjenje: Uzevši vrednost korena stepena 2n iz jedinice, imamo ralzaganje na linearne umnoške
, gde je i zamišljena jedinica).
Koristeći ovu jednakost pri z = r, predstavimo u obliku
.
Za svako , sledi i
Ako je , prepisavši imamo:
,
i nalazimo
Čitaoc vidi da direktan način izračunavanja određenog integrala preko sumiranja zahteva i u prostim slučajevima je značajan napor i zato se retko koristi.
Primeri:
U sledećim primerima korištena je formula
)
b)
Analogno:
v)
g) zavisi od toga da li je ili n = m
Naći vrednosti integrala (m, n prirodni brojevi)
(a) iz formule , uzimajući u njoj a = 0, h = 2x i n = m-1, moguće je izvesti da je:
Otuda, kako se posebno lako integrališe po formuli može se koristiti
(b)
Odavde, ako iskoristimo predhodni rezultat
II Način izračunavanja Puasonovog integrala
I(r) =
Mi već znamo da pri , podintegralna f-ja je neprekidna i integral postoji. Mi ga ponovo izračunavamo pomoću nekog poznatog načina, u kome će zamena promenljivih igrati glavnu ulogu.
Primetimo da iz očiglednih nejednakosti
Logaritmujući a zatim integrišući od 0 do , dobijamo (pri <1 )
2 ln2 ln.
Otuda je jasno da kad r0 i I(r)0.
Razmotrimo sada integral:
I(-r) =
Ako u tom integralu zamenimo x = – t, pri čemu se t menja od do 0, to se pokazuje da:
I(-r)=
U tom slučaju
2I(r) = I(r) + I(-r) =
Ili
2I(r) = .
Zamenivši x = (gde se t menja od 0 do 2), dobijamo

... ---------- CEO RAD MOŽETE PREUZETI NA SAJTU. ---------- 

www.maturski.org 

 

MOŽETE NAS KONTAKTIRATI NA E-MAIL: [email protected]